本文章由 WyOJ Shojo 从洛谷专栏拉取，原发布时间为 2024-02-18 17:28:00

题意：

给你一个数 $n(1\le n\le 10^6)$， 求：
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}$$ 的解数。

进入正题：

先推式子： $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}$$ 通分， 得：
$$\frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}=\frac{1}{n!}$$ $$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}$$ 整理， 得： $$(x+y)n!=xy$$ $$xn!+yn!=xy$$ 移项， 得： $$xy-xn!-yn!=0$$ 配方， 得： $$xy-xn!-yn!+n!^2=n!^2$$ $$(x-n!)(y-n!)=n!^2$$ 然后我们就把这个问题转化为了 “$n!^2$ 有几个因数”， 又因为求因数和公式：
$$n=a_1^{q_1}a_2^{q_2}\dots\dots a_i^{q_i}$$ $$m=(q_1+1)(q_2+1)\dots\dots (q_i+1)$$ 得：
$$m^2=(2q_1+1)(2q_2+1)\dots\dots (2q_i+1)$$ 故首先要筛质数， 然后再分解质因数， 最后统计即可。
代码：

#include<bits\/stdc++.h>
#define INF 214748364721474836
#define int long long
#define endl '\n'
#define inl inline
#define reg register
using namespace std;
const int N=1e6+5,MOD=1e9+7;
int n,prime[N],cnt,ans=1,sum[N];
bool vis[N];
inl int read(){
	reg int f=1,x=0;
	reg char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return f*x;
}
inl void write(int x){
	if(x<0){
		putchar('-');
		x=-x;
	}
	if(x>=10) write(x\/10);
	putchar(x%10^48);
}
signed main(){
	n=read();
	for(reg int i=2;i<=n;++i)
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
			for(reg int j=i;j<=n\/i;++j) vis[i*j]=true;
		}
	for(reg int j=1;j<=cnt;++j){
	 	int x=n;
			while(x){
				sum[j]+=x\/prime[j];
				x\/=prime[j];
		}
			
			}
	for(reg int i=1;i<=cnt;++i) ans=(ans*(sum[i]<<1|1))%MOD;
	write(ans);
	return 0;
}