本文章由 WyOJ Shojo 从洛谷专栏拉取，原发布时间为 2025-09-19 21:45:32

$(y-1)^2+(x-3+y)^2+(2x+y-6)^2$

令 $t=x-3$ 得，原式为 $(y-1)^2+(t+y)^2+(2t+y)^2$

展开得 $y^2-2y+1+t^2+2ty+y^2+4t^2+4ty+y^2$

即 $3y^2-2y+6ty+5t^2+1$

令 $f(x)=3y^2-2y+6ty+5t^2+1$

列出其对 $y$ 的偏导方程得

$$f'(x)=6y-2+6t $$

列出其对 $t$ 的偏导方程得

$$f'(x)=6y+10t$$

依题意，$f(x)$ 要取得最小值，即 $f'(x)=0$

将上方二式联立 $$f'(x)=6y-2+6t $$ $$f'(x)=6y+10t$$

解得 $y= \frac{5}{6}$ ，$t=-\frac{1}{2}$

即 $x=2.5$

带回原式得，最小值为 $\frac{1}{6}$