本文章由 WyOJ Shojo 从洛谷专栏拉取，原发布时间为 2023-10-18 21:12:27

感觉是一道水紫，主要考察对级数求和公式的背诵。

不过除了我这个蒟蒻，大佬们应该都有实力在赛时发明公式。

为方便表示，比较长的整体在句子中用括号表示。

Sol

自然而然想到 dp。

考虑如何设计 dp 状态？

• 考虑逐层递推？
• 题目要求的是第 $n$ 层最终透过了多少光。
• 光线会反复弹射，所以第 $i$ 层的最终透光率和（光反射进入前一层然后弹射出来的占比）直接挂钩。

显而易见，可以设 $f_i$ 表示前 $i$ 层的透光率，$g_i$ 表示从 $i$ 层之后的空气中射入前 $i$ 层，不考虑折射，然后反弹出来回到 $i$ 层之后的空气中的光线占最初光纤的占比。

然后，分别计算。

• 对于 $f_i$，光纤来源是 $f_{i-1}$，每打中一次第 $i$ 层玻璃，都有 $\frac{a_i}{100}$ 的占比进入下一层，剩余 $\frac{b_i}{100} \cdot g_{i-1}$ 的占比留到下一次打中第 $i$ 层玻璃。
• 所以：$f_i = \sum\limits_{p=0}^{\infty}{f_{i-1} \cdot \frac{a_i}{100} \cdot (\frac{b_i}{100} \cdot g_{i-1})^p}$
• 对于 $g_i$，可以用类似方法简单推导得出以下结论。
• $g_i = \frac{b_i}{100} + \sum\limits_{p=0}^{\infty}{\frac{a_i}{100} \cdot g_{i-1} \cdot (\frac{b_i}{100} \cdot g_{i-1})^p \cdot \frac{a_i}{100}}$

可以发现 $f_i,g_i$ 的计算，只要把多余项提出去，就变成了典型的指数级数，所以：
$f_i = f_{i-1}\cdot \frac{a_i}{100} \cdot \sum\limits_{p=0}^{\infty}{ \cdot (\frac{b_i}{100} \cdot g_{i-1})^p}$

$g_i = \frac{b_i}{100} + \frac{{a_i}^2}{10000} \cdot g_{i-1} \cdot \sum\limits_{p=0}^{\infty}{(\frac{b_i}{100} \cdot g_{i-1})^p}$

带入公式 $\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x}$ 直接算就行了。