本文章由 WyOJ Shojo 从洛谷专栏拉取，原发布时间为 2022-04-26 21:02:13

题解思路：

当 $n$ 是偶数先手必胜。

当 $n$ 是奇数后手必胜。

我们来证明一下：

1. $n$ 是偶数是先手必胜

既然 $n$ 是偶数，那么先手有一个构造方案：

把 $\mod n$ 相等的数放在一起，例如：$(1 , 1) , (1 , n + 1)$。

所以后手拿的数只有 $1 + ... + n$。 他就是 $(1 + n) \times n \div 2$，对于这个值，那么为什么他一定不是 $2n$ 的倍数呢？

$n = 2m$

因为 $n$ 是偶数，而 $n + 1$ 就是个奇数，那这个数是不是 $n$ 的倍数呢？

我们考虑一下：

因为 $n = 2m$ 所以原式就变成了：$(2m + 1) \times m$。

那么我们想让 $(2m + 1) \times m$ 是 $n$ 的倍数，那么我们要有个 $2$，但由于 $2m + 1$ 一定是奇数，所以他一定不是 $n$ 的倍数。
因为他不是 $n$ 的倍数，那他就不可能是 $2n$ 的倍数了。

证毕。

那么为什么 $n$ 是偶数时后手必败呢？我们只要证明当 $n$ 是奇数时后手必胜就可以了。

2. 当 n 为奇数时后手必胜

首先我们证明一个性质：

$(2n + 1) \times n \mod 2n = n$

因为他乘了奇数倍，所以他 $\mod 2n$ 一定是 $n$，因为它比奇数倍还多了一个 $n$。

若我们选 $n$ 个数，定义 $sum$ 为选的 $n$ 个数的和。那么 $sum \mod n = 0$。

那么我们有两种情况 $sum \mod 2n = n$，$sum \mod 2n = 0$。

若 $sum \mod 2n = 0$，那么我们就是答案；若 $sum \mod 2n = n$，那么另外 $n$ 个数就是答案。

那么只要 $\mod n = 0\ 1\ 2\ ......\ n - 1$ 的数各有两个，那么我不管怎么塞，我们去出来这 $n - 1$ 个数。

注意：奇数的情况时要fflush(stdout)，不然会Idleness limit exceeded on test 3，洛谷显示UKE

AC记录

AC CODE:

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 1000010;
typedef long long ll; 
int n;
int a[N];
bool vis[N] , vis2[N] , vis3[N];
vector <int> e[N];
vector <int> g[N];
int main() {
	scanf ("%d" , &n);
	if (n & 1) {\/\/奇数的情况 
		puts("Second");
		fflush(stdout);
		for (int i = 1; i <= n * 2; ++ i) {
			scanf ("%d" , &a[i]);\/\/读入 
			e[i % n].push_back (a[i]);
			g[a[i]].push_back (i);
		}
		for (int i = 1; i <= n * 2; ++ i) {
			int root = i % n;
			if (vis[root]) continue; 
			int u = i;
			while (1) {
				vis[u % n] = vis2[u] = 1;\/\/把他标记上 
				int v = -1;
				for (auto x : g[a[u]])
					if (!vis[x % n])
						v = x;
				if (v == -1) break;
				if (v > n) v -= n;\/\/>n 就 -n 
				else v += n;\/\/否则加上n 
				u = v;
			}
		}
		ll ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n << 1; ++ i) 
			if (vis2[i]) \/\/统计他们的和 
				ans += i;
		if (ans & 1) {\/\/sum % 2n == n
			bool ok = false;\/\/控制空格，避免后面多输出一个空格，当然加不加都无所谓 
			for (int i = 1; i <= n << 1; ++ i) 
				if (!vis2[i]) {\/\/那么另外的那些就是答案 
					if (ok) printf (" ");
					printf ("%d" , i);
					ok = true;
				}
			puts("");
		}else {\/\/否则 sum % 2n == 0 
			bool ok = false;\/\/ok含义同上 
			for (int i = 1; i <= n << 1; ++ i)
				if (vis2[i]) {\/\/那么就是原来的数 
					if (ok) printf (" ");
					printf ("%d" , i);
					ok = true;
				}
			puts("");
		} 
	}else {
		puts ("First");\/\/偶数的情况，先手必胜 
		for (int i = 1; i <= n << 1; ++ i) {\/\/直接输出 
			printf ("%d" , i % n + 1);\/\/把两个同余的放在一块 
			if (i == n << 1) puts("");
			else printf (" ");
		} 
	}
	return 0;
}

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