本文章由 WyOJ Shojo 从洛谷专栏拉取，原发布时间为 2022-08-22 23:41:51

洛谷传送门： CF1715E Long Way Home

个人感觉不错的一道图论+dp的题目

首先应当想到从城市 $1$ 到 $i$ 的路程必然可以看作是先走若干条（可能是零条）道路，然后乘坐一次航班，再走若干条道路，然后再次乘坐一次航班……如此循环不超过 $k$ 次得到。其次注意到 $k \le 20$ 的数据范围，不难考虑到可以通过某些算法维护一轮行动，然后直接暴力维护 $k$ 轮即可。

记 $\{dis_i\}$ 为上一轮结束后从 $1$ 到 $i$ 点的最短路，初始 $dis_1=0$，其余全为 $+\infty$。

首先考虑走若干条道路的部分，建立超级源点 $S$，从 $S$ 向点 $i$ 连边权为 $dis_i$ 的有向边，然后跑一遍 $\text{Dijkstra}$ 即可，这是图论中的常见套路，比较显然。

然后考虑 $\text{dp}$ 以维护乘坐航班的部分，我们有：

$$ dis'i = \min{1 \le j \le n} \{dis_j+(i-j)^2\} $$

不妨令 $j \le i$ ，对于 $j > i$ 部分的贡献可以倒着再做一遍 $\text{dp}$，发现这就是经典斜率优化的式子：

$$ 2ij+dis'_i-i^2=dis_j+j^2 $$

单调队列维护下凸包即可。

代码：

\/\/CF1715E Long Way Home
#include <bits\/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5+5;
const ll INF = 0x3fffffffffffffff;

int n, m, k;
ll dis[MAXN], f[MAXN];
bool flag[MAXN];

vector<pair<int, ll> > G[MAXN];
priority_queue<pair<ll, int> > Q;

void dijkstra() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(flag, 0, sizeof(flag));
    dis[0] = 0;
    Q.push(make_pair(0, 0));
    while (!Q.empty()) {
        int top = Q.top().second;
        Q.pop();
        if (flag[top]) continue;
        flag[top] = 1;
        for (auto to : G[top])
            if (dis[to.first] > dis[top] + to.second) {
                dis[to.first] = dis[top] + to.second;
                Q.push(make_pair(-dis[to.first], to.first));
            }
    }
}

int Q1[MAXN];
int head, tail;

inline ll X(int x) { return x; }
inline ll Y(int x) { return dis[x] + (ll) x * x; }
inline long double slope(int a, int b) { return (long double) (Y(b) - Y(a)) \/ (X(b) - X(a)); }

inline void dp() {
    head = 1, tail = 0;
    Q1[++tail] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        while (head < tail && slope(Q1[head], Q1[head + 1]) < 2 * i) head++;
        f[i] = min(dis[i], dis[Q1[head]] + (ll) (i - Q1[head]) * (i - Q1[head]));
        while (head < tail && slope(i, Q1[tail]) < slope(i, Q1[tail - 1])) tail--;
        Q1[++tail] = i;
    }

    head = 1, tail = 0;
    Q1[++tail] = n;
    for (int i = n - 1; i; i--) {
        while (head < tail && slope(Q1[head], Q1[head + 1]) > 2 * i) head++;
        f[i] = min(f[i], dis[Q1[head]] + (ll) (i - Q1[head]) * (i - Q1[head]));
        while (head < tail && slope(i, Q1[tail]) > slope(i, Q1[tail - 1])) tail--;
        Q1[++tail] = i;
    }

    for (auto &to : G[0]) to.second = f[to.first];
}

void solve() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, x;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &x);
        G[u].emplace_back(v, x);
        G[v].emplace_back(u, x);
    }

    G[0].emplace_back(1, 0);
    for (int i = 2; i <= n; i++) G[0].emplace_back(i, INF);
    
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        dijkstra();
        dp();
    }

    dijkstra();

    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld ", dis[i]);
}

int main() {
    solve();
    return 0;
}