「联合省选 2025」岁月 - 题目

题目背景

希望大家一直记得我。 “希望大家永远忘了我。”

题目描述

小 Y 有一个 $n$ 个节点、$m$ 条边的带权无向图 $G$，节点由 1 至 $n$ 编号。第 $i$ ($1 \leq i \leq m$) 条边连接 $u_i$ 和 $v_i$，边权为 $w_i$。保证 $G$ 连通且没有重边自环。

小 Y 预见到岁月将会磨灭图 $G$ 的痕迹，而这会导致一些边变成有向边，另一些边直接消失。具体地，图 $G$ 历经岁月将会磨损为 $n$ 个节点的带权有向图 $G'$，其中对于第 $i$ ($1 \leq i \leq m$) 条边，$G'$ 上 - 有 $\frac{1}{4}$ 的概率同时存在 $u_i$ 向 $v_i$ 和 $v_i$ 向 $u_i$ 的有向边，它们的边权均为 $w_i$; - 有 $\frac{1}{4}$ 的概率存在 $v_i$ 向 $u_i$、边权为 $w_i$ 的有向边，而不存在其反向边; - 有 $\frac{1}{4}$ 的概率存在 $u_i$ 向 $v_i$、边权为 $w_i$ 的有向边，而不存在其反向边; - 有 $\frac{1}{4}$ 的概率 $u_i$ 和 $v_i$ 之间没有边。

所有 $m$ 个随机事件是独立的。

小 Y 认为一个无向图的核心是最小生成树，而一个有向图的核心是最小外向生成树。称图 $G'$ 的一个边子集 $E$ 是外向生成树，当且仅当 $|E| = n - 1$ 且存在一个节点 $x$ 可以只经过 $E$ 中的有向边到达图 $G'$ 上的所有节点。图 $G'$ 的最小外向生成树即为图 $G'$ 上边权和最小的外向生成树。

小 Y 希望图的核心历经岁月侵蚀也保持不变，于是他想知道，有多大的概率，图 $G'$ 的最小外向生成树存在，且其边权和等于图 $G$ 的最小生成树边权和。

你需要将答案对 $(10^9 + 7)$ 取模。可以证明答案一定为有理数 $\frac{a}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 互质，且 $b$ 不是 $(10^9 + 7)$ 的倍数。因此你输出的数 $x$ 需要满足 $0 \leq x < 10^9 + 7$ 且 $a \equiv bx \pmod{10^9 + 7}$，可以证明这样的 $x$ 唯一存在。

输入格式

本题有多组测试数据。输入的第一行两个整数 $c, T$，分别表示测试点编号和测试数据组数，接下来输入每组测试数据。样例满足 $c = 0$。

对于每组测试数据，第一行两个整数 $n, m$，分别表示图 $G$ 的点数和边数，接下来 $m$ 行，第 $i$ ($1 \leq i \leq m$) 行三个整数 $u_i, v_i, w_i$，描述图 $G$ 上的一条边。

输出格式

对于每组测试数据，输出一行一个整数，表示图 $G'$ 的最小外向生成树存在且其边权和等于图 $G$ 的最小生成树边权和的概率，对 $(10^9 + 7)$ 取模。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

750000006
171875002

说明/提示

【样例 1 解释】

该组样例共有 2 组测试数据。 - 对于第一组测试数据，由于图上只有一条边，因此只要 $G'$ 上有边，$G'$ 的最小外向生成树边权和就一定等于 $G$ 的最小生成树边权和。$G'$ 上存在边的概率为 $\frac{3}{4}$，故答案为 $\frac{3}{4}$，取模后的结果为 $750\,000\,006$。 - 对于第二组测试数据，在所有 $2^{2m} = 64$ 种 $G'$ 中，有 13 种情况不满足 $G'$ 的最小外向生成树边权和等于 $G$ 的最小生成树边权和： - $G'$ 为空图; - $G'$ 仅包含一条有向边，共 6 种情况; - $G'$ 仅包含两条有向边，且指向同一个节点，共 3 种情况; - $G'$ 仅包含两条有向边，且构成一个二元环，共 3 种情况。

由于所有情况等概率出现，因此答案为 $1 - \frac{13}{64} = \frac{51}{64}$，取模后的结果为 $171\,875\,002$。

【样例 2】

见选手目录下的 years/years2.in 与 years/years2.ans。

该组样例共有 5 组测试数据。其中每组测试数据分别满足测试点 $1 \sim 3$、$4 \sim 6$、$7,8$、$9 \sim 11$、$12,13$ 的限制。

【样例 3】

见选手目录下的 years/years3.in 与 years/years3.ans。

该组样例共有 5 组测试数据。其中每组测试数据分别满足测试点 $14 \sim 16$、$17, 18$、$19, 20$、$21 \sim 23$、$24, 25$ 的限制。

【子任务】

对于所有测试点，

$1 \leq T \leq 5$,
$2 \leq n \leq 15$, $n - 1 \leq m \leq \frac{n(n-1)}{2}$,
$\forall 1 \leq i \leq m$, $1 \leq u_i < v_i \leq n$, $1 \leq w_i \leq m$,
$\forall 1 \leq i < j \leq m$, $(u_i, v_i) \neq (u_j, v_j)$，即 $G$ 没有重边，
保证 $G$ 连通。

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{测试点编号} & n \leq & \textbf{特殊性质} \\ \hline 1 \sim 3 & 6 & A \\ \hline 4 \sim 6 & 15 & B \\ \hline 7, 8 & 9 & C \\ \hline 9 \sim 11 & 12 & C \\ \hline 12, 13 & 14 & C \\ \hline 14 \sim 16 & 15 & C \\ \hline 17, 18 & 9 & \textbf{无} \\ \hline 19, 20 & 12 & \textbf{无} \\ \hline 21 \sim 23 & 14 & \textbf{无} \\ \hline 24, 25 & 15 & \textbf{无} \\ \hline \end{array}

特殊性质 A：$m \leq 6$, $\forall 1 \leq i \leq m$, $w_i \leq 2$。
特殊性质 B：$\forall 1 \leq i < j \leq m$, $w_i \neq w_j$。
特殊性质 C：$\forall 1 \leq i \leq m$, $w_i = 1$。

Wy Online Judge